问题
解答题
设函数f(x)=
（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程； （Ⅱ）求函数f（x）单调区间． |
答案
因为f(x)=
，所以f′(x)=eax x2+1
．eax(ax2-2x+a) (x2+1)2
（Ⅰ）当a=1时，f(x)=
，f′(x)=ex x2+1
，ex(x2-2x+1) (x2+1)2
所以f（0）=1，f'（0）=1．
所以曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为x-y+1=0．…（4分）
（Ⅱ）因为f′(x)=
=eax(ax2-2x+a) (x2+1)2
(ax2-2x+a)，…（5分）eax (x2+1)2
（1）当a=0时，由f'（x）＞0得x＜0；由f'（x）＜0得x＞0．
所以函数f（x）在区间（-∞，0）单调递增，在区间（0，+∞）单调递减．…（6分）
（2）当a≠0时，设g（x）=ax2-2x+a，方程g（x）=ax2-2x+a=0的判别式△=4-4a2=4（1-a）（1+a），…（7分）
①当0＜a＜1时，此时△＞0．
由f'（x）＞0得x＜
，或x＞1- 1-a2 a
；1+ 1-a2 a
由f'（x）＜0得
＜x＜1- 1-a2 a
．1+ 1-a2 a
所以函数f（x）单调递增区间是(-∞，
)和(1- 1-a2 a
，+∞)，1+ 1-a2 a
单调递减区间(
，1- 1-a2 a
)．…（9分）1+ 1-a2 a
②当a≥1时，此时△≤0．所以f'（x）≥0，
所以函数f（x）单调递增区间是（-∞，+∞）．…（10分）
③当-1＜a＜0时，此时△＞0．
由f'（x）＞0得
＜x＜1+ 1-a2 a
；1- 1-a2 a
由f'（x）＜0得x＜
，或x＞1+ 1-a2 a
．1- 1-a2 a
所以当-1＜a＜0时，函数f（x）单调递减区间是(-∞，
)和(1+ 1-a2 a
，+∞)，1- 1-a2 a
单调递增区间(
，1+ 1-a2 a
)．…（12分）1- 1-a2 a
④当a≤-1时，此时△≤0，f'（x）≤0，所以函数f（x）单调递减区间是（-∞，+∞）．…（13分）
