（1）函数的定义域为（0，+∞）．

f′(x)=-

a

x2

+

1

x

=

x-a

x2

．

∵x=1时函数y=f（x）取得极小值，

∴f′（1）=0，得a=1．

当a=1时，在（0，1）内f′（x）＜0，在（1，+∞）内f′（x）＞0，

∴x=1是函数y=f（x）的极小值点．

故a=1．

（2）证明：f（x）＞

3

2

-x等价于：f（x）+x＞

3

2

．

令g（x）=f（x）+x，则g′(x)=

x-1

x2

+1=

x2+x-1

x2

，

令h（x）=x²+x-1，

∵h（0）=-1＜0，h（

1

2

）=-

1

4

＜0，

∴x∈(0，

1

2

)时，h（x）＜0，

∴g′（x）＜0，

∴g（x）在（0，

1

2

）上单调递减．

∴g（x）＞g(

1

2

)，即g（x）＞2-ln2+

1

2

=

3

2

+(1-ln2)＞

3

2

，

∴f（x）+x＞

3

2

，

故f（x）＞

3

2

-x．