问题
解答题
已知正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面互相垂直，M为AC上一点，N为BF上一点，且AM=FN=x有，设AB=a
（1）求证：MN∥平面CBE；
（2）求证：MN⊥AB；
（3）当x为何值时，MN取最小值？并求出这个最小值．
答案
证明：（1）在平面ABC中，作MG∥AB，在平面BFE中，作NH∥EF，
连接GH∵AM=FN∴MC=NB∵
=MG AB
=MC NC NB EF
∴MG
NH∴MNHG为平行四边形；∴MN∥GH∥ . .
又∵GH⊆面BEC，MN≠⊂面BEC∴MN∥面BEC
（2）∵AB⊥BC，AB⊥BE∴AB⊥面BEC∵GH⊆面GEC∴AB⊥GH∵MN∥GH∴MN⊥AB
（3）∵面ABCD⊥面ABEF∴BE⊥面ABCD∴BE⊥BC
∵BG=
，BH=x 2
a-x2 2
∴MN=GH=BG2+BH2
=x2+x2-2
ax+2a22 2
=
（0＜a＜x2-
ax+a22
a）2
=
≤(x-
a)2+2 2 a2 2
a当且仅当x=2 2
a时，等号成立；2 2
∴当x=
a时，MN取最小值2 2
a．2 2