问题
解答题
| 已知函数f（x）=lnx+a（x2-x） （1）若a=-1，求证f（x）有且仅有一个零点； （2）若对于x∈[1，2]，函数f（x）图象上任意一点处的切线的倾斜角都不大于
（3）若f（x）存在单调递减区间，求实数a的取值范围． |
答案
（1）证明：f（x）=lnx-x2+x（x＞0），f′(x)=
-2x+1=1 x -(x-1)(2x+1) x
令f'（x）=0，得x=1，
令f'（x）＞0，∵x＞0，∴0＜x＜1；令f'（x）＜0，
∵x＞0，∴x＞1，
∴f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．
∴f（x）最大值=f（1）=0，
∴f（x）有且仅有一个零点，该零点即为1．---------（4分）
（2）f′(x)=
，由已知，0≤f'（x）≤1在x∈[1，2]上恒成立．---------（6分）2ax2-ax+1 x
由f'（x）≤1在x∈[1，2]上恒成立，可得a≤(
)min=0x-1 2x2-x
由f'（x）≥0在x∈[1，2]上恒成立，可得a≥(
)max=--1 2x2-x 1 6
∴-
≤a≤0-------------------（10分）1 6
（3）f（x）存在单调递减区间，等价于f′(x)=
＜0在（0，+∞）上有解，即2ax2-ax+1＜0在（0，+∞）上有解2ax2-ax+1 x
记g（x）=2ax2-ax+1，x∈（0，+∞）
当a=0时，g（x）=1，不满足条件；
当a＜0时，g（x）为开口向下的二次函数，2ax2-ax+1＜0在（0，+∞）上恒有解；
当a＞0时，g（x）为开口向上的二次函数，对称轴为x=
，2ax2-ax+1＜0在（0，+∞）上有解，只需g（x）min＞0，即g(1 4
)＞0，解得a＞81 4
综上所述，a的取值范围为（-∞，0）∪（8，+∞）
