（1）m=2时，f(x)=2x-

2

x

，f′(x)=2+

2

x2

，f′(1)=4，

切点坐标为（1，0），

∴切线方程为y=4x-4…（2分）

（2）m=1时，令h(x)=f(x)-g(x)=x-

1

x

-2lnx，

h′(x)=1+

1

x2

-

2

x

=

(x-1)2

x2

≥0，

∴h（x）在（0，+∞）上为增函数．…（4分）

又h(e)•h(

1

e

)=-(

1

e

-e+2)2＜0，

∴y=h（x）在（0，+∞）内有且仅有一个零点

∴在（0，+∞）内f（x）=g（x）有且仅有一个实数根…（6分）

（或说明h（1）=0也可以）

（3）mx-

m

x

-2lnx＜2恒成立，即m（x²-1）＜2x+2xlnx恒成立，

又x²-1＞0，则当x∈（1，e]时，m＜

2x+2xlnx

x2-1

恒成立，

令G(x)=

2x+2xlnx

x2-1

，只需m小于G（x）的最小值，

G′(x)=

-2(x2lnx+lnx+2)

(x2-1)2

，

∵1＜x≤e，∴lnx＞0，∴当x∈（1，e]时G'（x）＜0，

∴G（x）在（1，e]上单调递减，

∴G（x）在（1，e]的最小值为G(e)=

4e

e2-1

，

则m的取值范围是(-∞，

4e

e2-1

)．…（12分）