问题
解答题
（Ⅰ）已知a，b∈R且a＞0，b＞0，求证：
（Ⅱ）求函数y=
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答案
（Ⅰ）【证法1】：∵
+a2 b
-(a+b)=b2 a
=a3+b3-a2b-ab2 ab
=a3-a2b-(ab2-b3) ab
=a2(a-b)-b2(a-b) ab (a-b)2(a+b) ab
∵a＞0，b＞0，∴
≥0，当且仅当a=b时等号成立．(a-b)2(a+b) ab
∴
+a2 b
≥a+bb2 a
【证法2】：∵a＞0，b＞0，∴(a+b)(
+a2 b
)=a2+b2+b2 a
+a3 b
≥a2+b2+2ab=(a+b)2b3 a
∴
+a2 b
≥a+b，当且仅当a=b时等号成立．b2 a
（Ⅱ）∵0＜x＜1，∴1-x＞0，由（Ⅰ）的结论
函数y=
+(1-x)2 x
≥（1-x）+x=1，当且仅当1-x=x即x=x2 1-x
时等号成立，1 2
∴函数y=
+(1-x)2 x
(0＜x＜1)的最小值为1．x2 1-x
