（1）求导函数可得f′(x)=

2x2+ax-1

x

因为函数f（x）在[1，2]上是减函数，所以f′(x)=

2x2+ax-1

x

≤0在[1，2]上恒成立，

令h（x）=2x²+ax-1，有

h(1)≤0 h(2)≤0

得

a≤-1 a≤- 7 2

，∴a≤-

7

2

；

（2）假设存在实数a，使g（x）=ax-lnx（x∈（0，e]）有最小值3，g′（x）=

ax-1

x

①当a≤0时，g（x）在（0，e]上单调递减，g（x）_min=g（e）=ae-1=3，a=

4

e

（舍去），

②当0＜

1

a

＜e时，g（x）在（0，

1

a

）上单调递减，在（

1

a

，e]上单调递增

∴g（x）_min=g（

1

a

））=1+lna=3，a=e²，满足条件．

③当

1

a

≥e时，g（x）在（0，e]上单调递减，g（x）_min=g（e）=ae-1=3，a=

4

e

（舍去），

综上，存在实数a=e²，使g（x）=ax-lnx（x∈（0，e]）有最小值3．

（3）证明：由（2）知当a=e²，g（x）=ax-lnx（x∈（0，e]）有最小值3，即g（x）=e²x-lnx≥3

又原不等式成立只须e²x-lnx＞

5

2

+

lnx

x

成立

令F（x）=

5

2

+

lnx

x

，则F′（x）=

1-lnx

x2

当0＜x≤e时，F'（x）≥0，∴F（x）在（0，e]上单调递增

故F（x）_max=F（e）=

1

e

+

5

2

＜3

故当x∈（0，e]时，e²x-

5

2

＞lnx+

lnx

x

，即原命题得证