已知函数f（x）=lnx+kex（k为常数，e=2.71828…是自然对数的底数

问题解答题

已知函数f（x）=

lnx+k

（k为常数，e=2.71828…是自然对数的底数），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行．
（Ⅰ）求k的值；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）设g（x）=（x²+x）f′（x），其中f′（x）是f（x）的导函数．证明：对任意x＞0，g（x）＜1+e^-2．

答案

（Ⅰ）f′(x)=

-lnx-k

，

依题意，∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行，

∴f′(1)=

1-k

=0，

∴k=1为所求．

（Ⅱ）k=1时，f′(x)=

-lnx-1

（x＞0）

记h（x）=

-lnx-1，函数只有一个零点1，且当x＞1时，h（x）＜0，当0＜x＜1时，h（x）＞0，

∴当x＞1时，f′（x）＜0，∴原函数在（1，+∞）上为减函数；当0＜x＜1时，f′（x）＞0，

∴原函数在（0，1）上为增函数．

∴函数f（x）的增区间为（0，1），减区间为（1，+∞）．

（Ⅲ）证明：g（x）=（x²+x）f′（x）=

1+x

（1-xlnx-x），先研究1-xlnx-x，再研究

1+x

．

①记r（x）=1-xlnx-x，x＞0，∴r′（x）=-lnx-2，令r′（x）=0，得x=e^-2，

当x∈（0，e^-2）时，r′（x）＞0，r（x）单增；

当x∈（e^-2，+∞）时，r′（x）＜0，r（x）单减．

∴r（x）_max=r（e^-2）=1+e^-2，即1-xlnx-x≤1+e^-2．

②记s（x）=

1+x

，x＞0，

∴s′(x)=-

＜0，∴s（x）在（0，+∞）单减，

∴s（x）＜s（0）=1，即

1+x

＜1．

综①、②知，g（x））=

1+x

（1-xlnx-x）≤（

1+x

）（1+e^-2）＜1+e^-2．