函数f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=-a-(2分)
(Ⅰ)设点P(x0,y0)(x0>0),当a=1时,f(x)=lnx-x-1,则y0=lnx0-x0-1,f′(x)=-1,
∴f′(x0)=-1=(3分)
解得x0=e2,故点P的坐标为(e2,1-e2)(4分)
(Ⅱ)f′(x)==-=-
∵0<a<,∴-1>0(5分)
∴当0<x<1,或x>时,f'(x)<0;当1<x<时,f'(x)>0
故当0<a<时,函数f(x)的单调递增区间为(1,);
单调递减区间为(0,1),(,+∞)(7分)
(Ⅲ)当a=时,f(x)=lnx-+-1
由(Ⅱ)可知函数f(x)在(0,1)上是减函数,在(1,2)上为增函数,在(2,e]上为减函数,且f(1)=-,f(e)=-+
∵f(e)-f(1)==,又e<+1,∴(e-1)2<3,
∴f(e)>f(1),故函数f(x)在(0,e]上的最小值为-(9分)
若∀x1∈(0,e],∃x2∈[0,1]使f(x1)≥g(x2)成立,等价于g(x)在[0,1]上的最小值不大于f(x)在(0,e]上的最小值-(*)(10分)
又g(x)=x2-2bx-=(x-b)2-b2-,x∈[0,1]
①当b<0时,g(x)在[0,1]上为增函数,[g(x)]min=g(0)=->-与(*)矛盾
②当0≤b≤1时,[g(x)]min=g(b)=-b2-,由-b2-≤-及0≤b≤1得,≤b≤1
③当b>1时,g(x)在[0,1]上为减函数,[g(x)]min=g(1)=-2b<-<-,
此时b>1
综上,b的取值范围是[,+∞)(12分)