问题 解答题
设函数f(x)=lnx-ax+
1-a
x
-1

(Ⅰ)当a=1时,过原点的直线与函数f(x)的图象相切于点P,求点P的坐标;
(Ⅱ)当0<a<
1
2
时,求函数f(x)的单调区间;
(Ⅲ)当a=
1
3
时,设函数g(x)=x2-2bx-
5
12
,若对于∀x1∈(0,e],∃x2∈[0,1]使f(x1)≥g(x2)成立,求实数b的取值范围.(e是自然对数的底,e<
3
+1
答案

函数f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=

1
x
-a-
1-a
x2
(2分)

(Ⅰ)设点P(x0,y0)(x0>0),当a=1时,f(x)=lnx-x-1,则y0=lnx0-x0-1,f′(x)=

1
x
-1,

f′(x0)=

1
x0
-1=
lnx0-x0-1
x0
(3分)

解得x0=e2,故点P的坐标为(e2,1-e2)(4分)

(Ⅱ)f′(x)=

-ax2+ax+a-1
x2
=-
(x-1)(ax-1+a)
x2
=-
a(x-1)(x-
1-a
a
)
x2

0<a<

1
2
,∴
1-a
a
-1>0
(5分)

∴当0<x<1,或x>

1-a
a
时,f'(x)<0;当1<x<
1-a
a
时,f'(x)>0

故当0<a<

1
2
时,函数f(x)的单调递增区间为(1,
1-a
a
)

单调递减区间为(0,1),(

1-a
a
,+∞)(7分)

(Ⅲ)当a=

1
3
时,f(x)=lnx-
x
3
+
2
3x
-1

由(Ⅱ)可知函数f(x)在(0,1)上是减函数,在(1,2)上为增函数,在(2,e]上为减函数,且f(1)=-

2
3
f(e)=-
e
3
+
2
3e

f(e)-f(1)=

2-e2+2e
3e
=
3-(e-1)2
3e
,又e<
3
+1
,∴(e-1)2<3,

∴f(e)>f(1),故函数f(x)在(0,e]上的最小值为-

2
3
(9分)

若∀x1∈(0,e],∃x2∈[0,1]使f(x1)≥g(x2)成立,等价于g(x)在[0,1]上的最小值不大于f(x)在(0,e]上的最小值-

2
3
(*)(10分)

g(x)=x2-2bx-

5
12
=(x-b)2-b2-
5
12
,x∈[0,1]

①当b<0时,g(x)在[0,1]上为增函数,[g(x)]min=g(0)=-

5
12
>-
2
3
与(*)矛盾

②当0≤b≤1时,[g(x)]min=g(b)=-b2-

5
12
,由-b2-
5
12
≤-
2
3
及0≤b≤1得,
1
2
≤b≤1

③当b>1时,g(x)在[0,1]上为减函数,[g(x)]min=g(1)=

7
12
-2b<-
17
12
<-
2
3

此时b>1

综上,b的取值范围是[

1
2
,+∞)(12分)

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