问题
解答题
已知a,b都是正实数,且a+b=2,求证:
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答案
证明:因为a,b都是正实数,所以原不等式等价于a2(b+1)+b2(a+1)≥(a+1)(b+1),
即 a2b+a2+ab2+b2≥ab+a+b+1.
等价于 a2+b2+ab(a+b)≥ab+a+b+1,…(6分)
将a+b=2代入,只需要证明 a2+b2+ab=(a+b)2=4≥ab+3,即ab≤1.
而由已知 a+b=2≥2
,可得ab≤1成立,所以原不等式成立. …(12分)ab
另证:因为a,b都是正实数,所以
+a2 a+1
≥a,a+1 4
+b2 b+1
≥b. …(6分)b+1 4
两式相加得
+a2 a+1
+a+1 4
+b2 b+1
≥a+b,…(8分)b+1 4
因为 a+b=2,所以
+a2 a+1
≥1. …(12分)b2 b+1