问题
解答题
已知a，b都是正实数，且a+b=2，求证：
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答案
证明：因为a，b都是正实数，所以原不等式等价于a2（b+1）+b2（a+1）≥（a+1）（b+1），
即 a2b+a2+ab2+b2≥ab+a+b+1．
等价于 a2+b2+ab（a+b）≥ab+a+b+1，…（6分）
将a+b=2代入，只需要证明 a2+b2+ab=（a+b）2=4≥ab+3，即ab≤1．
而由已知 a+b=2≥2
，可得ab≤1成立，所以原不等式成立． …（12分）ab
另证：因为a，b都是正实数，所以
+a2 a+1
≥a，a+1 4
+b2 b+1
≥b． …（6分）b+1 4
两式相加得
+a2 a+1
+a+1 4
+b2 b+1
≥a+b，…（8分）b+1 4
因为 a+b=2，所以
+a2 a+1
≥1． …（12分）b2 b+1