问题 解答题
已知a,b都是正实数,且a+b=2,求证:
a2
a+1
+
b2
b+1
≥1
答案

证明:因为a,b都是正实数,所以原不等式等价于a2(b+1)+b2(a+1)≥(a+1)(b+1),

即 a2b+a2+ab2+b2≥ab+a+b+1.

 等价于 a2+b2+ab(a+b)≥ab+a+b+1,…(6分)

将a+b=2代入,只需要证明 a2+b2+ab=(a+b)2=4≥ab+3,即ab≤1.

而由已知 a+b=2≥2

ab
,可得ab≤1成立,所以原不等式成立.    …(12分)

另证:因为a,b都是正实数,所以

a2
a+1
+
a+1
4
≥a,
b2
b+1
+
b+1
4
≥b.   …(6分)

两式相加得 

a2
a+1
+
a+1
4
+
b2
b+1
+
b+1
4
≥a+b,…(8分)

因为  a+b=2,所以

a2
a+1
+
b2
b+1
≥1.   …(12分)

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