问题
解答题
已知复数z满足|z|=
（1）求z； （2）设z、z2、z-z2在复平面对应的点分别为A，B，C，求∠ABC的余弦值． |
答案
（1）设z=a+bi（a、b∈R），z2=（a+bi）2=a2-b2+2abi…（1分）
∵|z|=
=a2+b2
，∴a2+b2=2，…①2
又∵z2的虚部为2，∴2ab=2…②…（2分）
①②联解，得a=b=-1或a=b=1…（3分）
∴z=1+i或-1-i…（4分）
（2）（i）当z=1+i时，z2=2i，z-z2=1-i…（5分）
可得A（1，1），B（0，2），C（1，-1）．
∴AB=
，AC=2，BC=2
，10
可得cos∠ABC=
=2+10-4 2×
×2 10 2 5
，…（9分）5
（ii）当z=-1-i，z2=2i，z-z2=-1-3i，…（10分）
可得A（-1，-1），B（0，2），C（-1，-3）．
∴AB=
，AC=2，BC=10
，26
可得cos∠ABC=
=26+10-4 2×
×26 10 8 65
…（13分）65