证明：（1+

1

n

）ⁿ=C_n⁰+C_n¹×

1

n

+C_n²（

1

n

）²+…+C_nⁿ（

1

n

）ⁿ

=1+1+C_n²×

1

n2

+C_n³×

1

n3

+…+C_nⁿ×

1

nn

=2+

1

2!

×

n(n-1)

n2

+

1

3!

×

n(n-1)(n-2)

n3

+…+

1

n!

×

n×(n-1)××2×1

nn

＜2+

1

2!

+

1

3!

+

1

4!

+…+

1

n!

＜2+

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n-1

=2+

1 2 [1-( 1 2 )n-1]

1- 1 2

=3-（

1

2

）^n-1＜3．

显然（1+

1

n

）ⁿ=1+1+C_n²×

1

n2

+C_n³×

1

n3

+…+C_nⁿ×

1

nn

＞2．

所以2＜（1+

1

n

）ⁿ＜3．