问题
解答题
已知f(n)=1+
（1）当m＜n（m∈N*）时，f(n)-f(m)＞
（2）当n＞1时，f(2n)＞
（3）对于任意给定的正数M，总能找到一个正整数N0，使得当n＞N0时，有f（n）＞M． |
答案
证明：（1）当m＜n时，
f（n）-f（m）=
+1 m+1
+…+1 m+2
≥1 n
+1 n
+…+1 n
=1 n
．n-m n
（2）当n＞1时，
f(2n)=1+
+1 2
+…+1 3
=1+1 2n
+( 1 2
+1 3
)+…+( 1 4
+1 2n-1+1
+…+1 2n-1+2
)＞1+1 2n
+1 2
+…+2 4
=1+2n-1 2n
=n 2
；n+2 2
（3）∵f(n+1)-f(n)=
＞0，1 n+1
∴f（n）在N*上单调递增．
由（2）可知，当n＞1时，f(2n)＞1+
＞n 2
．对任意给定的正数M，设M0是比M大的最小正整数，n 2
取N0=22 M0，则当n＞N0时，f(n)＞f(N0)=f(22 M0)＞
=M0＞M．2 M0 2