问题
解答题
（附加题）是否存在常数c，使得不等式
对于任意正数x，y，z恒成立？试证明你的结论． |
答案
猜测常数c=
（可以猜测等号当且仅当x=y=z时成立）3 4
左边不等式的证明方法，令
，则2x+y+z=a x+2y+z=b x+y+2z=m
，x= 3a-b-m 4 y= 3b-a-m 4 z= 3m-a-b 4
∴左边=
+3a-b-m 4a
+3b-a-m 4b
=3m-a-b 4m
-(9 4
+b 4a
)-(a 4b
+m 4a
)-(a 4m
+b 4m
)≤m 4b 3 4
右边不等式的证明用柯西不等式证明，证法如下：
右边=
+x x+2y+z
+y x+y+2z
=z 2x+y+z
+x2 x2+2xy+xz
+y2 yx+y2+2yz z2 2xz+yz+z2
=
≥(
+x2 x2+2xy+xz
+y2 yx+y2+2yz
)((x2+2xy+xz)+(yx+y2+2yz)+(2xz+yz+z2))z2 2xz+yz+z2 ((x2+2xy+xz)+(yx+y2+2yz)+(2xz+yz+z2))
，(x+y+z)2 x2+y2+z2+3(xy+yz+xz)
于是要证明右边不等式成立，只需证明
≥(x+y+z)2 x2+y2+z2+3(xy+yz+xz)
，3 4
即证4（x+y+z）2≥3[x2+y2+z2+3（xy+yz+xz）}
即证：x2+y2+z2≥xy+yz+xz
即证：（x-y）2+（y-z）2+（x-z）2≥0
显然成立，故问题得证．