问题
解答题
| 先阅读下列不等式的证法： 已知a1，a2∈R，a12+a22=1，求证：|a1+a2|≤
证明：构造函数f（x）=（x-a1）2+（x-a2）2，则f（x）=2x2-2（a1+a2）x+1，因为对一切x∈R，恒有f（x）≥0，所以△=4（a1+a2）2-8≤0，故得|a1+a2|≤
再解决下列问题： （1）若a1，a2，a3∈R，a12+a22+a32=1，求证|a1+a2+a3|≤
（2）试将上述命题推广到n个实数，并证明你的结论． |
答案
（1）证明：构造函数f（x）=（x-a1）2+（x-a2）2+（x-a3）2（2分）
则f（x）=3x2-2（a1+a2+a3）x+a12+a22+a32=3x2-2（a1+a2+a3）x+1（2分）
因为对一切x∈R，恒有f（x）≥0，所以△=4（a1+a2+a3）2-12≤0，
故得|a1+a2+a3|≤
． （2分）3
（2）推广：若a1，a2，…，an∈R，a12+a22+…+an2=1，则|a1+a2+…+an|≤
． （2分）n
证明：构造函数f（x）=（x-a1）2+（x-a2）2+…+（x-an）2，
则f（x）=nx2-2（a1+a2+…+an）x+a12+a22+…+an2=nx2-2（a1+a2+…+an）x+1．
因为对一切x∈R，恒有f（x）≥0，所以△=4（a1+a2+…+an）2-4n≤0，
故得|a1+a2+…+an|≤
． （2分）n
