问题
解答题
已知f（x）=x3-ax2-4x（a为常数），若函数f（x）在x=2处取得一个极值，
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若经过点A（2，c），（c≠-8）可作曲线y=f（x）的三条切线，求实数c的取值范围．
答案
（1）f'（x）=3x2-2ax-4∴f'（2）=12-4a-4=0∴a=2∴f'（x）=3x2-4x-4由f'（x）＞0得x＞2或x＜-
∴f（x）的单调递增区间是（-∞，-2 3
），（2，+∞），f（x）的单调递减区间是（-2 3
，2）2 3
（2）f（x）=x3-2x2-4x
设切点是（x0，x03-2x02-4x0），则f'（x0）=3x02-4x0-4∴切线方程为y-（x03-2x02-4x0）=（3x02-4x0-4）（x-x0）
把点A（2，c）代入上式得2x03-8x02+8x0+8+c=0∵过点A可作y=f（x）的三条切线∴2x3-8x2+8x+8+c=0有三个不同的实根
设g（x）=2x3-8x2+8x+8+c，则g'（x）=6x2-16x+8，令g'（x）=0得x=
或x=22 3
∴g（x）在（-∞，
)，(2，+∞)上单调递增，在(2 3
，2）上单调递减2 3
由题意
，解得-g(x)极大值=g(
)＞02 3 g(x)极小值=g(2)＜0
＜c＜-8280 27