问题
解答题
设函数f（x）=x+ax2+blnx，曲线y=f（x）过点P（1，0），且在点P处的切线斜率为2．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求f（x）的极值点；
（Ⅲ）对定义域内任意一个x，不等式f（x）≤2x-2是否恒成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
答案
（Ⅰ）∵f（x）=x+ax2+blnx（x＞0）
∴f′(x)=1+2ax+
，b x
∵y=f（x）在点P（1，0）处的切线斜率为2，
∴
即f(1)=0 f′(1)=2 1+a=0 1+2a+b=2
解得
，a=-1 b=3
∴a=-1，b=3．
（Ⅱ）∵f（x）=x-x2+3lnx（x＞0）
得f′(x)=1-2x+
=3 x
，-2x2+x+3 x
即f′(x)=(-2x+3)(x+1) x
由x＞0可得，
当f'（x）＞0时，解得0＜x＜
，3 2
当f'（x）＜0时，解得x＞
．3 2
列表可得：
故f（x）只有极大值点，且极大值点为x=
．3 2
（Ⅲ）令g（x）=f（x）-2x+2，得g（x）=-x2-x+2+3lnx（x＞0），
∴g′(x)=-2x-1+
=3 x
，-2x2-x+3 x
即g′(x)=
．(2x+3)(-x+1) x
由x＞0可得，
当g'（x）＞0时，解得0＜x＜1；
当g'（x）＜0时，x＞1．
列表可得：
由表可知g（x）的最大值为g（1）=0．
即g（x）≤0恒成立，因此f（x）≤2x-2恒成立．