问题 解答题
已知函数f(x)=
1-a
x
-ax+ln
x
(a∈R)

(1)当a=0时,求f(x)在x=
1
2
处切线的斜率;
(2)当0≤a≤
1
2
时,讨论f(x)的单调性;
(3)设g(x)=x2-2bx+3当a=
1
4
时,若对于任意x1∈(0,2),存在x2∈[1,2]使f(x1)≥g(x2)成立,求实数b的取值范围.
答案

(1)∵a=0,∴f(x)=

1
x
+lnx,

f′(x)=-

1
x2
+
1
x

则f(x)在x=

1
2
处切线的斜率k=f′(
1
2
)=-2
…(4分)

(2)函数f(x)的定义域为x∈(0,+∞),f′(x)=-

ax2-x+1-a
x2

①当a=0时,f′(x)=-

1
x2
+
1
x
,令f'(x)=0,解得x=1,

∴x∈(0,1),f'(x)<0;x∈(1,+∞),f'(x)>0

∴函数f(x)的单调递增区间为(1,+∞),单调递减区间为(0,1)…(6分)

②当0<a<

1
2
时,f′(x)=-
ax2-x+1-a
x2
=0
,解得x1=1或x2=
1
a
-1
且x1<x2

列表

x(0,1)1(1,
1
a
-1
1
a
-1
1
a
-1,+∞
f′(x)-0+0-
f(x)极小值极大值
由表可知函数f(x)的单调递减区间为(0,1);单调递增区间为(1,
1
a
-1)
,单调递减区间为(
1
a
-1,+∞)

③当a=

1
2
时,f′(x)=-
(x-1)2
2x2
≤0
,∴函数f(x)的单调递减区间为(0,+∞).…(10分)

(3)a=

1
4
∈(0,
1
2
),f′(x)=-
(x-1)(x-3)
4x2
=0
,解得x1=1或x2=3

∵x∈(0,2),∴f(x)的单调递减区间为(0,1);单调递增区间为(1,2),

∴f(x)的最小值为f(1)=

1
2

原命题等价于g(x)在x∈[1,2]的最小值不大于f(x)在(0,2)上的最小值

1
2

又g(x)=x2-2bx+3x∈[1,2]

①当b<1时,g(x)的最小值为g(1)=4-2b>2,不合;

②当b∈[1,2]时,g(x)的最小值为g(b)=3-b2

1
2
,解得
10
2
≤b≤2

③当b∈(2,+∞)时,g(x)的最小值为g(2)=7-4b≤

1
2
,解得b>2,

综上,b的取值范围[

10
2
,+∞).…(14分)

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