(1)∵a=0,∴f(x)=+lnx,
∴f′(x)=-+
则f(x)在x=处切线的斜率k=f′()=-2…(4分)
(2)函数f(x)的定义域为x∈(0,+∞),f′(x)=-
①当a=0时,f′(x)=-+,令f'(x)=0,解得x=1,
∴x∈(0,1),f'(x)<0;x∈(1,+∞),f'(x)>0
∴函数f(x)的单调递增区间为(1,+∞),单调递减区间为(0,1)…(6分)
②当0<a<时,f′(x)=-=0,解得x1=1或x2=-1且x1<x2
列表
x | (0,1) | 1 | (1,-1) | -1 | (-1,+∞) |
f′(x) | - | 0 | + | 0 | - |
f(x) | ↓ | 极小值 | ↑ | 极大值 | ↓ |
由表可知函数f(x)的单调递减区间为(0,1);单调递增区间为
(1,-1),单调递减区间为
(-1,+∞);
③当a=时,f′(x)=-≤0,∴函数f(x)的单调递减区间为(0,+∞).…(10分)
(3)a=∈(0,),f′(x)=-=0,解得x1=1或x2=3
∵x∈(0,2),∴f(x)的单调递减区间为(0,1);单调递增区间为(1,2),
∴f(x)的最小值为f(1)=
原命题等价于g(x)在x∈[1,2]的最小值不大于f(x)在(0,2)上的最小值,
又g(x)=x2-2bx+3x∈[1,2]
①当b<1时,g(x)的最小值为g(1)=4-2b>2,不合;
②当b∈[1,2]时,g(x)的最小值为g(b)=3-b2≤,解得≤b≤2;
③当b∈(2,+∞)时,g(x)的最小值为g(2)=7-4b≤,解得b>2,
综上,b的取值范围[,+∞).…(14分)