（1）求导函数可得f′（x）=

a

x

-2x=-

2x2-a

x

（x＞0）

∵x=1是f（x）的一个极值点．

∴f′（1）=0，可得a=2．

（2）f（x）=2lnx-x²，令h（x）=f（x）+m=2lnx-x²+m，

则h′（x）=

2

x

-2x=-

2

x

(x-1)(x+1)，

令h′（x）=0，得x=1（x=-1舍去）．

由于x∈[

1

e

，e]，

则当x∈[

1

e

，1]时，h′（x）＞0，∴h（x）是增函数；

当x∈[1，e]时，h′（x）＜0，∴h（x）是减函数，

则方程h（x）=0在[

1

e

，e]内有两个不等实根的充要条件是：

h( 1 e )≤0 h(1)＞0 h(e)≤0．

即1＜m≤2+

1

e2

．

（3）若g（x）的图象与x轴交于A（x₁，0），B（x₂，0）（其中x₁＜x₂），

则方程2lnx-x²+3x=0的解为x₁，x₂（其中x₁＜x₂）．

故函数y=2lnx与y=x²-3x的交点的横坐标为x₁，x₂，

作出两函数图象如图．如图所示，

由于2ln

1

2

=-2ln2≈-1.4，(

1

2

)2-3×

1

2

=-

5

4

=-1.25，所以

1

2

＜x1＜1，

同理得到

7

2

＜x2＜4，

故-1＜-x1＜-

1

2

，所以

5

2

＜x₂-x₁＜

7

2

．