问题
解答题
已知函数f(x)=
（Ⅰ）若a=
（Ⅱ）若对任意的x∈（1，3），都有f（x）＞0成立，求a的取值范围． |
答案
（I）f′(x)=x+
-1 x
=5 2
，f'（x）=0，得x1=2x2-5x+2 2x
，或x2=2，1 2
列表：
函数f（x）在x=
处取得极大值f(1 2
)=1 2
-ln2，7 8
函数f（x）在x=2处取得极小值f（2）=ln2-1；（4分）
（II）：f′(x)=x+
-(1+a)，x∈（1，3）时，x+1 x
∈(2，1 x
)，（5分）10 3
（i）当1+a≤2，即a≤1时，x∈（1，3）时，
f'（x）＞0，函数f（x）在（1，3）是增函数∀x∈（1，3），f（x）＞f（1）=0恒成立；（7分）
（ii）当1+a≥
，即a≥10 3
时，x∈（1，3）时，7 3
f'（x）＜0，函数f（x）在（1，3）是减函数∀x∈（1，3），f（x）＜f（1）=0恒成立，不合题意（9分）
（iii）当2＜1+a＜
，即1＜a＜10 3
时，x∈（1，3）时，7 3
f'（x）先取负，再取，最后取正，函数f（x）在（1，3）先递减，再递增，
而f（1）=0，∴∀x∈（1，3），f（x）＞f（1）=0不能恒成立；（11分）
综上，a的取值范围是a≤1．（12分）