问题
解答题
（本小题满分12分）
设函数f (x)＝ln(x＋a)+x2.
（Ⅰ）若当x＝1时，f (x)取得极值，求a的值，并讨论f (x)的单调性；
（Ⅱ）若f (x)存在极值，求a的取值范围，并证明所有极值之和大于ln.
答案
（Ⅰ）
；
分别在区间
单调递增，在区间
单调递减．
（Ⅱ）
，证明见解析
（Ⅰ）
，依题意有，故．
从而
．的定义域为
，
当
时，
；当
时，
；
当
时，．
分别在区间单调递增，在区间单调递减．
（Ⅱ）的定义域为
，
．
方程
的判别式
．
（ⅰ）若
，即
，在的定义域内，故无极值．
（ⅱ）若
，则
或
．
若
，
，
．
当
时，
，
当
时，，所以无极值．
若，
，
，也无极值．
（ⅲ）若
，即
或
，则有两个不同的实根
，
．
当时，，从而
有的定义域内没有零点，故无极值．
当时，，
，在的定义域内有两个不同的零点，由根值判别方法知在
取得极值．
综上，存在极值时，
的取值范围为．
的极值之和为
.