问题
解答题
| 已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=1处的切线方程为y=3x+1， （1）若函数y=f（x）在x=-2时有极值，求f（x）的表达式； （2）在（1）条件下，若函数y=f（x）在[-2，m]上的值域为[
（3）若函数y=f（x）在区间[-2，1]上单调递增，求b的取值范围． |
答案
（1）f′（x）=3x2+2ax+b
∵曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程为y=3x+1．
∴
即 f′(1)=3 f(1)=4 3+2a+b=3 1+a+b+c=4
∵函数y=f（x）在x=-2时有极值
∴f′（-2）=0即-4a+b=-12
∴3+2a+b=3 1+a+b+c=4 -4a+b=-12 
解得a=2，b=-4，c=5
∴f（x）=x3+2x2-4x+5
（2）由（1）得：f（x）=x3+2x2-4x+5，画出它的图象，如图，
由图可知，
若函数y=f（x）在[-2，m]上的值域为[
，13]，95 27
m的取值范围是：[
，2]．5 3
（3）由（1）知，2a+b=0
∴f′（x）=3x2-bx+b
∵函数y=f（x）在区间[-2，1]上单调递增
∴f′（x）≥0即3x2-bx+b≥0在[-2，1]上恒成立
①当x=
≥1时f′（x）的最小值为f′（1）=1-b+b≥0∴b≥6b 6
②当x=
≤-2时，f′(x)的最小值为f′（-2）=12+2b+b≥0∴b∈∅b 6
③-2＜
＜1时，f′（x）的最小值为 b 6
≥0∴0≤b≤612b-b2 12
总之b的取值范围是b≥0