问题
解答题
| 已知函数f（x）=ax-21nx，a∈R （Ⅰ）a=1时，求函数f（x）的极值； （Ⅱ）求f（x）单调区间 （Ⅲ）设g(x)=
|
答案
（I）f′(x)=1-
，x＞0．令f'（x）=0，得x=22 x
当x变化时，f'（x）与f（x）变化情况如下表：
| x | （0，2） | 2 | （2，+∞） |
| f'（x） | - | 0 | + |
| f（x） | 单调递减 | 极小值 | 单调递增 |
（Ⅱ）a≤0时，f（x）在（0，+∞）上为减函数；a＞0时，f（x）在（0，
）上是减函数，2 a
在（
，+∞）上是增函数．2 a
（Ⅲ）本命题等价于f（x）-g（x）＞0在[1，e]上有解，设F（x）=f（x）-g（x）=ax-2lnx-
，a+2e x
F'（x）=a-
+2 x
=a+2e x2
=ax2-2x+a+2e x2
＞0，ax2+a+2(e-x) x2
所以F（x）为增函数，F（x）max=F（e）．
依题意需F（e）＞0，解得a＞
．所以a的取值范围是(4e e2-1
，+∞)．4e e2-1