问题
解答题
（本题满分16分）
函数f(x)＝x3＋3ax2＋3bx＋c在x＝2处有极值，其图象在x＝1处的切线平行于直线3x＋y＋2＝0．
（1）求a，b的值； （2）求函数的极大值与极小值的差．
答案
（1）a＝－1，b＝0
（2）4
（1）f¢(x)＝3x2＋6ax＋3b．令f¢(x)＝0，得3x2＋6ax＋3b＝0（Ⅰ），因为f(x)在x＝2处有极值，所以，x＝2是方程（Ⅰ）的根，代入得4＋4a＋b＝0 ①；又图象在x＝1处的切线平行于直线3x＋y＋2＝0，故y¢|x＝1＝－3，即3＋6a＋3b＝－3 ②．所以由①，②解得a＝－1，b＝0．
（2）由（1）知f(x)＝x3－3x2＋c，f¢(x)＝3x2－6x．f¢(x)＝0的另一个根为x＝0．列表如下：
| x | (－∞，0) | 0 | (0，2) | 2 | (2，＋∞) |
| f¢(x) | ＋ | 0 | － | 0 | ＋ |
| f(x) | ↗ | 极大值 | ↘ | 极小值 | ↗ |
因此，当x＝0时，f(x)有极大值f(0)＝c；当x＝2时，f(x)有极小值f(2)＝c－4．所以，所求的极大值与极小值之差为c－(c－4)＝4．