问题
解答题
| 已知a和b是任意非零实数． （1）求
（2）若不等式|2a+b|+|2a-b|≥|a|（|2+x|+|2-x|）恒成立，求实数x的取值范围． |
答案
（1）∵
≥|2a+b|+|2a-b| |a|
=|2a+b+2a-b| |a|
=4，|4a| |a|
故
的最小值为4．|2a+b|+|2a-b| |a|
（2）若不等式|2a+b|+|2a-b|≥|a|（|2+x|+|2-x|）恒成立，
即|2+x|+|2-x|≤
恒成立，故|2+x|+|2-x|不大于|2a+b|+|2a-b| |a|
的最小值．（4分）|2a+b|+|2a-b| |a|
由（1）可知，
的最小值为4，当且仅当（2a+b）（2a-b）≥0时取等号，|2a+b|+|2a-b| |a|
∴
的最小值等于4．（8分）|2a+b|+|2a-b| |a|
∴x的范围即为不等式|2+x|+|2-x|≤4的解集．
解不等式得-2≤x≤2，故实数x的取值范围为[-2，2]． （10分）