问题 解答题
已知曲线C:y=
x3
3
-4x+
2
3

(I)求在点M(1,-3)处曲线C的切线方程;
(Ⅱ)若过点N(1,n)作曲线C的切线有三条,求实数n的取值范围.
答案

(I)f'(x)=x2-4,f'(1)=-3,(2分)

∴曲线y=f(x)在M(1,-3)处的切线方程为y+3=-3(x-1),即3x+y=0(4分)

(II)过点N(1,n)向曲线y=f(x)作切线,设切点为(x0,y0

则y0=

1
3
x03-4x0+
2
3
,k=f'(x0)=x02-4.

则切线方程为y-(

1
3
x03-4x0+
2
3
)=(x02-4)(x-x0)(6分)

将N(1,n)代入上式,整理得2x03-3x02+10+3n=0.

∵过点N(1,n)可作曲线y=f(x)的三条切线

∴方程2x03-3x02+10+3n=0(*)有三个不同实数根、(8分)

记g(x)=2x03-3x02+10+3n,g'(x)=6x2-6x=6x(x-1),

令g'(x)=0,x=0或1、(10分)

则x,g'(x),g(x)的变化情况如下表

x(-∞,0)0(0,1)1(1,+∞)
g'(x)+0-0+
g(x)递增极大递减极小递增
当x=0,g(x)有极大值10+3n;x=1,g(x)有极小值9+3n,(12分)

由题意有,当且仅当

g(0)>0
g(1)<0
,即
10+3n>0
9+3n<0
,-
10
3
<n<-3时,

函数g(x)有三个不同零点、

此时过点N可作曲线y=f(x)的三条不同切线.故m的范围是(-

10
3
,-3)(14分)

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阅读理解与欣赏

阅读下面的文言文,完成小题。

张敷,字景胤,吴郡人,吴兴太守邵子也。生而母没。年数岁,问母所在,家人告以死生之分,敷虽童蒙,便有思慕之色。年十许岁,求母遗物,而散施已尽,唯得一画扇,乃缄录之,每至感思,辄开笥流涕。见从母,常悲感哽咽。

高祖见而爱之,以为世子中军参军,数见接引。永初初,迁秘书郎。尝在省直,中书令傅亮闻其好学,故过之;敷卧不即起,亮怪而去。

时义恭就太祖求一学义沙门,比沙门求见发遣,会敷赴假还江陵,太祖谓沙门曰:“张敷应西,当令相载:”及敷辞,上谓曰:“抚军须一意怀道人,卿可载之,道中可得言晤。”敷不奉旨,曰:“臣性不耐杂。”上甚不说。

迁正员郎。中书舍人狄当、周赳并管要务,以敷同省名家,欲诣之。赳曰:“彼若不相容,便不如不往。讵可轻往邪?”当曰:“吾等并已员外郎矣,何忧不得共坐。”敷先设二床,去壁三四尺,二客就席,既而呼左右曰:“移我远客。”赳等失色而去。其自摽遇如此。善持音仪,尽详缓之致。与人别,执手曰:“念相闻。”余响久之不绝。张氏后进至今慕之,其源流起自敷也。

迁黄门侍郎,始兴王浚后军长史,司徒左长史。未拜,父在吴兴亡,自发都至吴兴成服,凡十余日,始进水浆。葬毕,不进盐菜,遂毁瘠成疾。世父茂度每止譬之,辄更感恸,绝而复续。茂度曰:“我冀譬汝有益,但更甚耳。”自是不复往。未期而卒,时年四十一。

琅邪颜延之书吊茂度曰:“贤弟子少履贞规,长怀理要,清风素气,得之天然。言面以来,便申忘年之好,比虽艰隔成阻而情问无睽。薄莫之人,冀其方见慰说,岂谓中年,奄为长往,闻问悼心,有兼恒痛。足下门教敦至,兼实 * * ,一旦丧失,何可为怀。”其见重如此。世祖即位,诏曰:“司徒故左长史张敷,贞心简立,幼树风规。居哀毁灭,孝道淳至,宜在追甄,于以报美。可追赠侍中。”于是改其所居称为孝张里。

小题1: 对下列句子中划线的词的解释,不正确的一项是( )(3分)

A.乃录之缄:封存

B.敷赴假还江陵会:正赶上

C.以敷同省名家,欲之诣:拜访,到……去

D.琅邪颜延之书茂度曰吊:凭吊小题2:以下各组句子中,全都表现张敷“孝道淳至”的一组是( )(3分)

①年数岁,问母所在

②每至感思,辄开笥流涕

③见从母,常悲感哽咽

④敷不奉旨,曰:“臣性不耐杂。”

⑤葬毕,不进盐菜,遂毁瘠成疾

⑥长怀理要,清风素气,得之天然

A.①③⑥

B.②③⑤

C.②④⑤

D.④⑤⑥小题3:下列对原文有关内容的分析和概括,不正确的一项是( )(3分)

A.张敷从小就懂得孝道,虽然生下来就没有见到过母亲,但却非常想念她,所以当他得到母亲的遗物后就收藏起来,每当思念时就拿出来观看。

B.张敷也是一个依自己性情做事的人,当皇帝让他带一个僧人去西行时,他以难以忍受闲杂人为由,拒绝了皇上的要求,使得皇上很不高兴。

C.张敷虽不慕权贵,但对于同官阶的狄当、周赳拜访自己时,却能以礼相待;只是在接待的最后自己有事先离开了。

D.父亲死后,张敷悲伤万分,当伯父劝他时,他悲伤得就更加厉害了。由于他优良的品行,使得琅邪的颜延之和他结成了忘年交。小题4: 把下列句子翻译成现代汉语。(10分)

(1)中书令傅亮闻其好学,故过之;敷卧不即起,亮怪而去。(4分)

(2)臣欲奉诏奔驰,则刘病日笃;欲苟顺私情,则告诉不许。(3分)

(3)始大人常以臣无赖,不能治产业,不如仲力。今某之业所就孰与仲多?(3分)