设f（x）=x³-6x²+9x+1，

∴f′（x）=3x²-12x+9，

令f′（x）=0，解得x₁=1或x=3，

当x＜1时，f′（x）＞0，则f（x）在（-∞，1）上单调递增，

当1＜x＜3时，f′（x）＜0，则f（x）在（1，3）上单调递减，

当x＞3时，f′（x）＞0，则f（x）在（3，+∞）上单调递增，

∴当x=1时，函数f（x）取得极大值f（1）=5，

当x=3时，函数f（x）取得极小值f（3）=1，

∵f（1）＞0，f（3）＞0，

∴函数f（x）与x轴只有一个交点，

∴方程x³-6x²+9x+1=0的实根个数是1个．

故选A．