问题
解答题
| 已知函数f（x）=ln（1+x2）+ax（a≤0）． （1）若f（x）在x=0处取得极值，求a的值； （2）讨论f（x）的单调性； （3）证明：（1+
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答案
（1）f′（x）=
+a，2x 1+x2
∵x=0是f（x）的一个极值点，∴f′（0）=0，
∴a=0
∵x＜0，f′（x）＜0；x＞0，f′（x）＞0
∴a=0符合条件…（3分）
（2）f′（x）=
+a=2x 1+x2
．…（4分）ax2+2x+a 1+x2
①若a=0时，由（1）知，f（x）在（0，+∞）单调递增，在（-∞，0）单调递减；…（5分）
②若
，即当a≤-1时，f'（x）≤0对x∈R恒成立．a＜0 △≤0
∴f（x）在（-∞，+∞）上单调递减．…（6分）
③若当-1＜a＜0时，由f'（x）＞0得ax2+2x+a＞0，∴
＜x＜-1+ 1-a2 a
．-1- 1-a2 a
再令f'（x）＜0可得x＞
或x＜-1- 1-a2 a
．-1+ 1-a2 a
∴f（x）在（
，-1+ 1-a2 a
）上单调递增，在（-∞，-1- 1-a2 a
），（-1+ 1-a2 a
，+∞）上单调递减．…（9分）-1- 1-a2 a
（3）证明：由（2）知，当a=-1时，f（x）在（-∞，+∞）上单调递减；
当x∈（0，+∞）时，由f（x）=ln（1+x2）-x＜f（0）=0，∴ln（1+x2）＜x
∴ln[(1+
)(1+1 4
)…(1+1 16
)]=ln(1+1 4n
)+ln(1+1 2
)+…+ln(1+1 22
)＜1 2n
+1 2
+…+1 22
=1 2n
=1-
(1-1 2
)1 2n 1- 1 2 1 2n
∴(1+
)(1+1 4
)…(1+1 16
)＜e1-1 4n
．…（14分）1 2n