（1）显然函数f（x）的定义域为（0，+∞），

当m=2时，f′(x)=

x2+x-2

x

=

(x-1)(x+2)

x

．

∴当x∈（0，1）时，f'（x）＜0，

x∈（1，+∞），f'（x）＞0．

∴f（x）在x=1时取得最小值，其最小值为f（1）=

3

2

．

（2）∵f′(x)=x-

m

x

+(m-1)=

x2+(m-1)x-m

x

=

(x-1)(x+m)

x

∴①当-1＜m≤0即-m＜1时，

若x∈（0，-m）时，f'（x）＞0，f（x）为增函数；

x∈（-m，1）时，f'（x）＜0，f（x）为减函数；

x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）为增函数

②当m=-1时，

f′(x)=

(x-1)2

x

≥0，函数f（x）在（0，+∞）上为增函数．

③当m＜-1即-m＞1时，

x∈（0，1）时，f'（x）＞0，f（x）为增函数；

x∈（1，-m）时，f'（x）＜0，f（x）为减函数；

x∈（-m，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）为增函数．

证明：（3）不妨设0＜x₁＜x₂，要证明

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞-1，

即证明：f（x₂）+x₂＞f（x₁）+x₁

当m=-2时，函数f(x)=

1

2

x2+2lnx-3x．

考查函数h(x)=f(x)+x=

1

2

x2+2lnx-2x

∵h′(x)=x+

2

x

-2=

x2-2x+2

x

=

(x-1)2+1

x

＞0

∴h（x）在（0，+∞）上是增函数，

对任意0＜x₁＜x₂，h（x₂）＞h（x₁），

所以f（x₂）+x₂＞f（x₁）+x₁，

∴

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞-1

命题得证