问题 解答题
已知函数f(x)=m(x+
1
x
)
的图象与h(x)=-
1
4
(x+
1
x
)
的图象关于y轴对称.
(Ⅰ)求m的值; 
(Ⅱ)若g(x)=f(x)+
a
4x
(a∈R),试讨论函数g(x)的单调性.
答案

(I)函数h(x)=-

1
4
(x+
1
x
)的图象关于y轴对称的图象对应的解析式为:

y=-

1
4
(-x+
1
-x
)=
1
4
(x+
1
x
)

故m=1

(II)由(I)中f(x)=

1
4
(x+
1
x
)

g(x)=f(x)+

a
4x
=
1
4
(x+
1
x
)
+
a
4x
=
x
4
+
a+1
4x

∴g′(x)=

1
4
-
a+1
4x2
=
x2-(a +1)
4x2

当a+1≤0,即a≤-1时,g′(x)≥0恒成立

此时g(x)在定义域(-∞,0)∪(0,+∞)上为增函数;

当a+1>0,即a>-1时,

若x∈(-∞,-

a+1
)∪(
a+1
,+∞)时,g′(x)>0;

若x∈(-

a+1
a+1
)时,g′(x)<0;

此时g(x)在区间(-∞,-

a+1
)和(
a+1
,+∞)上为增函数;

在区间(-

a+1
a+1
)上为减函数;

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