问题
解答题
| 已知关于x的两个一元二次方程： 方程①：(1+
方程②：x2+（2k+1）x-2k-3=0． （1）若方程①有两个相等的实数根，求解方程②； （2）若方程①和②中只有一个方程有实数根，请说明此时哪个方程没有实数根，并化简
（3）若方程①和②有一个公共根a，求代数式（a2+4a-2）k+3a2+5a的值． |
答案
（1）∵方程①有两个相等实数根，
∴1+
≠0且△1=0，即（k+2）2-4（1+k 2
）×（-1）=0，则（k+2）（k+4）=0，解此方程得k1=-2，k2=-4，k 2
而k+2≠0，
∴k=-4，
当k=-4时，方程②变形为：x2-7x+5=0．
解得 x1=
，x2=7+ 29 2
•7- 29 2
（2）∵△2=（2k+1）2+4（2k+3）=4k2+12k+13=（2k+3）2+4＞0，
因此无论k为何值时，方程②总有实数根，
∵方程①、②只有一个方程有实数根，
∴此时方程①没有实数根，
∴△1＜0，
∴（k+2）（k+4）＜0，
∴
=1- 4k+12 (k+4)2
=(k+4)2-(4k+12) (k+4)2
=(k+2)2 (k+4)2
=|(
)2k+2 k+4
|=-k+2 k+4
；k+2 k+4
（ 3）设a 是方程①和②的公共根，
∴(1+
)a2+(k+2)a-1=0 ③，k 2
a2+（2k+1）a-2k-3=0④，
由（③-④）×2得：ka2=2（k-1）a-4k-4⑤，
由④得：a2=-（2k+1）a+2k+3⑥，
将⑤、⑥代入原式，得
∴原式=ka2+4ak-2k+3a2+5a
=2（k-1）a-4k-4+4ak-2k-3（2k+1）a+6k+9+5a
=5．