问题
解答题
求证：△ABC是等边三角形的充要条件是a2+b2+c2=ab+bc+ca，这里a，b，c是△ABC的三条边．
答案
证明：（1）充分性：如果a2+b2+c2=ab+bc+ca，
则a2+b2+c2-ab-bc-ca=0
所以（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2=0
所以（a-b）=0，（b-c）=0，（c-a）=0．
即a=b=c．
所以△ABC是等边三角形．
（2）必要性：如果△ABC是等边三角形，则a=b=c．
所以（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2=0
所以a2+b2+c2-ab-bc-ca=0
所以a2+b2+c2=ab+bc+ca
综上可知：△ABC是等边三角形的充要条件是a2+b2+c2=ab+bc+ca．