问题 填空题

设a、b、c∈R,且a、b、c不全相等,则不等式a3+b3+c3≥3abc成立的一个充要条件是______.

答案

解析 a3+b3+c3-3abc

=(a+b)3-3ab(a+b)+c3-3abc

=[(a+b)3+c3]-3ab(a+b+c)

=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc)

=

1
2
(a+b+c)[(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2],

而a、b、c不全相等⇔(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2>0,

∴a3+b3+c3≥3abc⇔a+b+c≥0.

故答案为:a+b+c≥0.

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