问题
填空题
设a、b、c∈R,且a、b、c不全相等,则不等式a3+b3+c3≥3abc成立的一个充要条件是______.
答案
解析 a3+b3+c3-3abc
=(a+b)3-3ab(a+b)+c3-3abc
=[(a+b)3+c3]-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc)
=
(a+b+c)[(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2],1 2
而a、b、c不全相等⇔(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2>0,
∴a3+b3+c3≥3abc⇔a+b+c≥0.
故答案为:a+b+c≥0.