问题
解答题
已知ab≠0，求证：a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0．
答案
证明：先证必要性：
∵a+b=1，∴b=1-a
∴a3+b3+ab-a2-b2=a3+（1-a）3+a（1-a）-a2-（1-a）2
=a3+1-3a+3a2-a3+a-a2-a2-1+2a-a2
=0
再证充分性：
∵a3+b3+ab-a2-b2=0
∴（a+b）（a2-ab+b2）-（a2-ab+b2）=0
即：（a2-ab+b2）（a+b-1）=0
∵ab≠0，a2-ab+b2=(a-
b)2+1 2
b2＞0，3 4
∴a+b-1=0，即a+b=1
综上所述：a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0
