问题
解答题
设一组数据是x1，x2，…，xn，它们的平均数是
（Ⅰ）证明：方差也可表示为s2=
（Ⅱ）求满足方程x2+(y-1)2+(x-y)2=
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答案
（1）∵s2=
[(x1-1 n
)2+(x2-. x
)2+…+(xn-. x
)2]，. x
=
[x12+(1 n
) 2-2x1. x
+x22+(. x
) 2-2x2. x
+…+xn2+(. x
) 2-2xn. x
]，. x
=
（x12+x22+…+xn2）+1 n
（(1 n
) 2+(. x
) 2+…+(. x
) 2）+. x
（-2x11 n
-2x2. x
-…-2xn. x
]，. x
=
（x12+x22+…+xn2）+(1 n
) 2+. x
（-2x11 n
-2x2. x
-…-2xn. x
]，. x
=
（x12+x22+…+xn2）+(1 n
) 2-2. x . x
（x1+x2+…+xn]，1 n
=
（x12+x22+…+xn2）-(1 n
) 2，. x
∴s2=
(1 n
+x 21
+…+x 22
)-x 2n
2；. x
当x1=x2=…=xn=
时，. x
s2=(
) 2-(. x
) 2=0，. x
∴此时方差s2取最小值0；
（2）设数据-x，（y-1），x-y的平均数为：
=. a
[（-x）+（y-1）+（x-y）]，1 3
=-
，1 3
方差s2=
[x2+（y-1）2+（x-y）2]-（1 3
）2=. a
-（-1 9
）2，1 3
当且仅当-x=y-1=x-y=
=-. a
时，1 3
s2=0，
此时x=
，y=1 3
．2 3