问题
解答题
设函数f（x）=|x-m|-mx，其中m为常数且m＜0．
（1）解关于x的不等式f（x）＜0；
（2）试探求f（x）存在最小值的充要条件，并求出相应的最小值．
答案
（1）由f（x）＜0得，|x-m|＜mx，得-mx＜x-m＜mx，
即
．(1-m)x＜m (1+m)x＞m
①当m=-1时，
⇒x＜-2x＜-1 0＞-1
；1 2
②当-1＜m＜0时，
⇒x＜ m 1-m x＞ m 1+m
＜x＜m 1+m
；m 1-m
③当m＜-1时，
⇒x＜x＜ m 1-m x＜ m 1+m
；m 1-m
综上所述，当m＜-1时，不等式解集为{x|x＜
}；m 1-m
当m=-1时，不等式解集为{x|x＜-
}；1 2
当-1＜m＜0时，不等式解集为{x|
＜x＜m 1+m
}．m 1-m
（2）f（x）=
，(1-m)x-m，x≥m -(1+m)x+m，x＜m
∵m＜0，∴1-m＞0，f（x）在[m，+∞）上单调递增，要使函数f（x）存在最小值，
则f（x）在（-∞，m）上是减函数或常数，
∴-（1+m）≤0即m≥-1，又m＜0，
∴-1≤m＜0．
故f（x）存在最小值的充要条件是-1≤m＜0，且f（x）min=f（m）=-m2．