由函数f（x）=ax³-x²+x+1，得到f′（x）=3ax²-2x+1，

因为函数在R上单调递增，所以f′（x）≥0恒成立，即3ax²-2x+1≥0恒成立，

设h（x）=3ax²-2x+1，

当a＞0时，h（x）为开口向上的抛物线，要使h（x）≥0恒成立即△=4-12a≤0，解得a≥

1

3

；

当a=0时，得到h（x）=-2x+1≥0，解得x≤

1

2

，不合题意；

当a＜0时，h（x）为开口向下的抛物线，要使h（x）≥0恒成立不可能．

综上，a的范围为[

1

3

，+∞）．

又a∈[

1

3

，+∞）⇒a＞0，反之不成立．

故“a＞0”是“函数f（x）=ax³-x²+x+1在R上为增函数”的必要不充分条件．

故选B．