问题
解答题
求证：当f（x）=ax2+bx+c（a≠0）时，方程ax2+bx+c=0有不等实根的充要条件是：存在x0∈R使得a•f（x0）＜0．
答案
证明：必要性：设方程ax2+bx+c=0有不等实根x1＜x2，
根据韦达定理有x1+x2=-
，x1•x2=b a
，c a
取x0=
=-x1+x2 2
，代入函数解析式可得b 2a
f（x0）=a(-
)2+b(-b 2a
)+c=b 2a
，4ac-b2 4a
因为方程有两个实根，所以b2-4ac＞0，
所以a•f（x0）=
＜0成立；4ac-b2 4
充分性：如果存在x0使得a•f（x0）＜0，即a2x2+abx+ac＜0在x=x0处成立，
因为a2＞0，根据二次函数特点，x=-
处，a2x2+abx+ac 取得最小值，ab 2a2
为f（-
）=ac-ab 2a2
，既然它是最小值，那么f（-b2 4
）≤f（x0）＜0，ab 2a2
所以ac-
＜0，即b2-4ac＞0，故原方程必然有2个不等实根；b2 4
综上可得：方程ax2+bx+c=0有不等实根的充要条件是：存在x0∈R使得a•f（x0）＜0．