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题目分析：观察a⁵﹣a⁴b﹣a⁴+a﹣b﹣1=0式子，可分解为（a﹣b﹣1）（a⁴+1）=0，那么必为a﹣b﹣1=0，根据已知a、b还满足2a﹣3b=1．据这两式可解得a、b的值．那么再将a、b的值代入a³+b³即可求出结果．

解：∵a⁵﹣a⁴b﹣a⁴+a﹣b﹣1=0⇒（a⁵+a）﹣（a⁴b+b）﹣（a⁴+1）=0⇒a（a⁴+1）﹣b（a⁴+1）﹣（a⁴+1）=0⇒（a﹣b﹣1）（a⁴+1）=0

∵a⁴+1＞0

∴a﹣b﹣1=0       ①

又∵2a﹣3b=1     ②

由①②可得a=2，b=1，

∴a³+b³=2³+1=9．

故答案为：9．

点评：本题考查因式分解，解决本题的关键是通过因式分解将a⁵﹣a⁴b﹣a⁴+a﹣b﹣1=0转化为（a﹣b﹣1）（a⁴+1）=0，同时得到a﹣b﹣1=0．