已知数列{an}，记A（n）=a1+a2+a3+…+an，B（n）=a2+a3+a4+…+an+1，C（n）=a3+a4+a5+…+an+2，（n=1，2，3，…），并且对于任意n∈N*，恒有an＞0成立．
（1）若a1=1，a2=5，且对任意n∈N*，三个数A（n），B（n），C（n）组成等差数列，求数列{an}的通项公式；
（2）证明：数列{an}是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意n∈N*，三个数A（n），B（n），C（n）组成公比为q的等比数列．
（1）由题意可得2B（n）=A（n）+C（n），
代入可得2（a2+a3+a4+…+an+1）=（a1+a2+a3+…+an）+（a2+a3+a4+…+an+1），
化简可得an+2-an+1=a2-a1=4，n∈N*，所以．
∴数列{an}的通项公式an=4n-3，n∈N*
（2）（必要性）若数列{an}是公比为q的等比数列，
则
=B(n) A(n)
=q，a2+a3+…+an+1 a1+a2+…an
=C(n) B(n)
=q，a3+a4+…+an+2 a2+a3+…an+1
所以A（n）、B（n）、C（n）组成公比为q的等比数列．
（充分性）：若对于任意n∈N*，三个数A（n），B（n），C（n）组成公比为q的等比数列，
则B（n）=qA（n），C（n）=qB（n），
于是C（n）-B（n）=q[B（n）-A（n）]，得an+2-a2=q（an+1-a1），即an+2-qan+1=a2-a1．
由n=1有B（1）=qA（1），即a2=qa1，从而an+2-qan+1=0．
因为an＞0，所以
=an+2 an+1
=q，故数列{an}是首项为a1，公比为q的等比数列．a2 a1
综上可得，数列{an}是公比为q的等比数列的充要条件是对任意的n∈N*，都有A（n）、B（n）、C（n）组成公比为q的等比数列．