已知数列{an}的前n项和Sn=pn+q（p≠0，q≠1），则“q=-1”是“数

问题选择题

已知数列{a_n}的前n项和S_n=pⁿ+q（p≠0，q≠1），则“q=-1”是“数列{a_n}是等比数列”的（　　）

A．充要条件

B．必要不充分条件

C．充分不必要条件

D．既不充分也不必要条件

答案

当n=1时，a₁=S₁=p+q；

当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（p-1）•p^n-1．

当p≠0，p≠1，

∴当n≥2时，{a_n}是等比数列．要使{a_n}（n∈N^*）是等比数列，

则

=p，即（p-1）•p=p（p+q），

∴q=-1，

即{a_n}是等比数列的必要条件是p≠0且p≠1且q=-1．

反之，q=-1时，S_n=pⁿ-1，

a_n=（p-1）•p^n-1，

因为p=1时，{a_n}不是等比数列

所以“q=-1”是“数列{a_n}为等比数列”的必要不充分条件．

故选B．