问题
选择题
设函数f（x）及其导函数f'（x）都是定义在R上的函数，则“∀x1，x2∈R，且x1≠x2，|f（x1）-f（x2）|＜|x1-x2|”是“∀x∈R，|f'（x）|＜1”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案
由于f′（x）=lim △x→0
=△y △x lim (x2- x 1)→0
，故|f′（x）|=f(x2)-f(x 1) x2-x 1 lim (x2- x 1)→0
．|f(x2)-f(x 1)| | x2-x 1|
由“∀x1，x2∈R，且x1≠x2，|f（x1）-f（x2）|＜|x1-x2|”，利用函数的导数的定义，可推出|f′（x）|＜1，
故成分性成立．
再由“∀x∈R，|f′（x）|＜1”，可得“∀x1，x2∈R，且x1≠x2，|f（x1）-f（x2）|＜|x1-x2|”成立，
故必要性成立．
综上可得，“∀x1，x2∈R，且x1≠x2，|f（x1）-f（x2）|＜|x1-x2|”是“∀x∈R，|f′（x）|＜1”的充要条件，
故选C．
vBl
vBl