（1）由题意，质点从半圆弧轨道做平抛运动又回到A点，设质点在C点的速度为v_C，质点从C点运动到A点所用的时间为t，则

在水平方向：x=v_Ct     ①

竖直方向上：2R=

1

2

gt² ②

解①②有   v_C=

x

2

g R

  ③

对质点从A到C，由动能定理有

  W_F-mg•2R=

1

2

m

v

2C

  ④

解得  W_F=

mg(16R2+x2)

8R

     ⑤

（2）要使F力做功最少，确定x的取值，由④式得 W_F=mg•2R+

1

2

m

v

2C

，则知，只要质点在C点速度最小，则功W_F就最小．

若质点恰好能通过C点，其在C点最小速度为v，

由牛顿第二定律有

  mg=

mυ2

R

，则  v=

Rg

  ⑥

由③⑥有

x

2

g R

=

Rg

，解得x=2R时，W_F最小，最小的功W_F=mg•2R+

1

2

m

v

2C

=

5

2

mgR．                       

（3）由⑤式W_F=mg（

16R2+x2

8R

），W=Fx

则得  F=

1

8

mg（

16R

x

+

x

R

）                                                      

因

16R

x

＞0，x＞0，

由极值不等式有

当

16R

x

=

x

R

时，即x=4R时，

16R

x

+

x

R

=8，最小的力F=mg．                       

答：（1）推力对小球所做的功是

mg(16R2+x2)

8R

．

（2）x等于2R时，完成上述运动所做的功最少，最小功为

5

2

mgR．

（3）x取4R时，完成上述运动用力最小，最小力为mg．