由条件p：“a＞b”，再根据函数y=2^x 是增函数，可得 2^a＞b^b，∴2^a＞b^b-1，故条件q：“2^a＞2^b-1”成立，故充分性成立．

但由条件q：“2^a＞2^b-1”成立，不能推出条件p：“a＞b”成立，例如由 2⁰＞2⁰-1 成立，不能推出0＞0，故必要性不成立．

故p是q的充分不必要条件，

故选A．