在空间中，当“OA∥O₁A₁，OB∥O₁B₁”，则“∠AOB=∠A₁O₁B₁”或“∠AOB=π-∠A₁O₁B₁”，所以不成立．如图1．

同理当“∠AOB=∠A₁O₁B₁”时，也无法得到OA∥O₁A₁，OB∥O₁B₁”，如图2．

所以“OA∥O₁A₁，OB∥O₁B₁”是“∠AOB=∠A₁O₁B₁”的既不充分又不必要条件．

故选D．