问题 问答题

图示为宇宙中一恒星系的示意图,A为该星系的一颗行星,它绕中央恒星O的运行轨道近似为圆.已知引力常量为G,天文学家观测得到A行星的运行轨道半径为R0,周期为T0

(1)中央恒星O的质量是多大?

(2)长期观测发现A行星每隔t0时间其运行轨道便会偏离理论轨道少许,天文学家认为出现这种现象的原因可能是A行星外侧还存在着一颗未知的行星B(假设其运行的圆轨道与A在同一平面内,且与A的绕行方向相同).根据上述现象和假设,试估箅未知行星B的运动周期和轨道半径.

答案

(1)设中央恒星质量为M,A行星质量为m,

由万有引力提供向心力得:G

Mm
R20
=m
4π2
T20
R0

解得:M=

4π2
R30
G
T20

故中央恒星O的质量为

4π2
R30
G
T20

(2)由题意可知:A、B相距最近时,B对A的影响最大,且每隔时间t0发生一次最大的偏离,说明A、B相距最近,设B行星的周期为T,则有:

(

T0
-
T
)t0=2π

解得:T=

t0T0
t0-T0

据开普勒第三定律:

R3
R30
=
T2
T20

得:R=

3(
t0
t0-T0
)
2
R0

故未知行星B的运动周期为

t0T0
t0-T0
,轨道半径为
3(
t0
t0-T0
)
2
R0

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