（1）设小球在O点正下方时的速度为v₁，绳的拉力为F，由机械能守恒定律得：

mgL=

mv02

2

         

在最低点    F-mg=

m v 21

L

 

解得    F=3mg   

由牛顿第三定律得，小球对绳的拉力大小F′=3mg，方向竖直向下． 

（2）设小球绕O点在竖直面内做完整圆周运动的半径为r，恰能过最高点时速度为v₂，

则：mg=

m v 22

r

  

解得   v2=

rg

 

由水平到最高点，由动能定理：mg(Lcosθ-rcosθ-r)=

1

2

m

v

22

 

解得r=

2cosθ

3+2cosθ

L 

因绳能承受的最大拉力为T_m=9mg，设小球在小圆轨道最低点的速度为v₃，

由向心力公式得：T_m-mg=

m v 23

r

 

由动能定理得：mg(Lcosθ-rcosθ+r)=

1

2

m

v

23

 

解得   r=

cosθ

3+cosθ

L

所以r的取值范围：

cosθ

3+cosθ

L≤r≤

2cosθ

3+2cosθ

L

由于d=L-r，所以有

3

3+2cosθ

L≤d≤

3

3+cosθ

L

答：（1）小球通过O点正下方时，小球对绳的拉力为3mg．

（2）d所允许的范围为

3

3+2cosθ

L≤d≤

3

3+cosθ

L．