如图，一个竖直放置的圆锥筒可绕其中心轴OO′转动，筒内壁粗糙，筒口半径和筒高分别为R和H，筒内壁A点的高度为筒高的一半，内壁A点上有一质量为m的小物块．
①当筒不转动时，求物块静止在筒壁A点时受到的摩擦力和支持力的大小？
②当物块在A点随筒做匀速转动，且其所受到的摩擦力为零时，求筒转动的角速度大小？
③若H=0.075m，R=0.1m，物体随筒一起匀速转动并保持相对静止时，物体受到的摩擦力大小为其重力的一半，求筒转动的角速度大小？
（1）当筒不转动时，物块静止在筒壁A点时受到的重力、摩擦力和支持力三力作用而平衡，
由平衡条件得
摩擦力的大小：f=mgsinθ=mgH H2+R2
支持力的大小：N=mgcosθ=mgR H2+R2
（2）当物块在A点随筒做匀速转动，且其所受到的摩擦力为零时，物块在筒壁A点时受到的重力和支持力作用，它们的合力提供向心力，设筒转动的角速度为ω有
mgtanθ=mω2R 2
由几何关系得 tanθ=H R
联立解得ω=2gH R
（3）若摩擦力方向沿斜面向上，则有：
竖直方向：Ncosθ+fsinθ=mg
水平方向：Nsinθ-fcosθ=mω2r
其中f=
mg，r=1 2 R 2
解得：ω=5 rad/s
若摩擦力方向沿斜面向下，则有：
竖直方向：Ncosθ-fsinθ=mg
水平方向：Nsinθ+fcosθ=mω2r
其中f=
mg，r=1 2 R 2
解得：ω=5
rad/s11
答：①当筒不转动时，物块静止在筒壁A点时受到的摩擦力大小为
，支持力的大小为mgH H2+R2
；mgR H2+R2
②当物块在A点随筒做匀速转动，且其所受到的摩擦力为零时，筒转动的角速度大小为
；2gH R
③若H=0.075m，R=0.1m，物体随筒一起匀速转动并保持相对静止时，物体受到的摩擦力大小为其重力的一半，筒转动的角速度大小为5 rad/s或5
rad/s．11