①小球刚好可以到达顶端C，说明刚好由重力提供向心力

mg=m

v12

R

所以到达C点时的速度为v1=

gR

小球由C点做平抛运动

竖直方向上的位移y=2R=

1

2

gt2

所以运动的时间为t=

4R g

水平方向上的位移x=v₁t=

gR

•

4R g

=2R

②半圆槽第一次被固定时，对小球运用动能定理-2mgR=

1

2

mv12-

1

2

mv02

解得v02=5gR

然后放开半圆槽后，m小球又以同样的初速冲向半圆槽，

对m、M系统根据动量守恒定律：

mv₀=（m+M）v₂

所以v2=

mv0

m+M

=

m

m+M

5gR

对m、M系统根据动能定理有：

-mgR=

1

2

(m+M)v22-

1

2

mv02

所以-mgR=

1

2

(m+M)•(

m

m+M

5gR

)2-

1

2

m•5gR

化简得

m

M

=

3

2

答：①半圆槽第一次被固定时，小球运动至C点后平抛运动的水平射程X=2R．

②小球质量与半圆槽质量的比值为

m

M

=

3

2

．