问题 问答题

如图甲所示,在光滑绝缘的水平面上固定着两对几何形状完全相同的平行金属板PQ和MN,P、Q与M、N四块金属板相互平行地竖直地放置,其俯视图如图乙所示.已知P、Q之间以及M、N之间的距离都是d=0.2m,极板本身的厚度不计,极板长均为L=0.2m,板间电压都是U=6.0×102V.金属板右侧为竖直向下的匀强磁场,磁感应强度B=5×102T,磁场区域足够大.今有一质量为m=1×10-4kg,电量为q=2×10-6C的带负电小球在水平面上如图从PQ平行板间左侧中点O沿极板中轴线以初速度v0=4m/s进入平行金属板PQ.

(1)试求小球刚穿出平行金属板PQ进入磁场瞬间的速度;

(2)若要小球穿出平行金属板PQ后,经磁场偏转射入平行金属板MN中,且在不与极板相碰的前提下,最终在极板MN的左侧中点O′沿中轴线射出.则金属板Q、M间距离最大是多少?

答案

(1)小球在PQ金属板中做类平抛运动:

小球所受电场力F=qE=q

U
d

而小球加速度a=

F
m
 

a=

qU
md

a=

6×102×2×10-6
0.2×1×10-4
m/s2=60m/s2

小球在板间运动的时间 t=

L
v0
=
0.2
4
s=0.05s 

小球在垂直板方向上的速度 vy=at=60×0.05m/s=3m/s     

则小球离开PQ板时的速度为vt=

v20
+
v2y
=
42+32
m/s=5m/s 

vt沿中轴线的夹角为tanθ=

vy
v0
=
3
4
                  

(2)在PQ极板间,若P板电势比Q板高,则小球向P板偏离,进入右侧磁场后做圆周运动,由运动的对称性,则必须N板电势高于M板电势,其运动轨迹如图a所示;同理若Q板电势比P板高,则必须M板电势高于N板电势,其运动轨迹如图b所示.否则不可能在不与极板相碰的前提下,最终在极板MN的左侧中点O′沿中轴线射出.

小球进入磁场后做圆周运动,设运动半径为R,因洛仑兹力提供向心力,即:

qvtB=m

v2t
R
  

所以R=

mvt
Bq
=
1×10-4×5
2×10-6×5×102
m=0.5m   

在PQ极板间,若小球向P板偏,设小球射入与射出磁场的两点间的距离为ha;在PQ极板间,若小球向Q板偏,设小球射入与射出磁场的两点间的距离为hb.由图中几何关系(注:图中半径不同,为简便,两图合一)可算得:

 ha=hb=2Rcosθ=2×0.5×

4
5
m=0.8m 

小球偏离中轴线的位移

Y=

1
2
at2=
1
2
×60×0.052m=7.5×10-2m

当小球向P板偏时,根据对称性可得QM板间的距离为 d1=ha-2(

d
2
+Y)=ha-d-2Y  

当小球向Q板偏时,根据对称性可得QM板间的距离为d2=hb-2(

d
2
-Y)=hb-d+2Y  

显然d2>d1          

代入数据得 d2=hb-d+2Y=0.8-0.2+2×7.5×10-2m=0.75m

因而金属板Q、M间距离最大为0.75m.

答:(1)则小球刚穿出平行金属板PQ进入磁场瞬间的速度大小为5m/s,方向与轴线的夹角正切值为

3
4

(2)若要小球穿出平行金属板PQ后,经磁场偏转射入平行金属板MN中,且在不与极板相碰的前提下,最终在极板MN的左侧中点O′沿中轴线射出.则金属板Q、M间距离最大是0.75m.

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